Question

對于各項均為整數的數列{a_n}，如果a_i+i（i=1，2，3，…）為完全平方數，則稱數列{a_n}具有“P性質”．不論數列{a_n}是否具有“P性質”，如果存在與{a_n}不是同一數列的{b_n}，且{b_n}同時滿足下面兩個條件：
①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一個排列；
②數列{b_n}具有“P性質”，則稱數列{a_n}具有“變換P性質”．
下面三個數列：
①數列{a_n}的前n項和Sn=

n

3

(n2-1)；
②數列1，2，3，4，5；
③1，2，3，…，11．
具有“P性質”的為

①

；具有“變換P性質”的為

②

．

Answer 1

分析：對于①，求出數列{a_n}的通項，驗證a_i+i=i²（i=1，2，3，…）為完全平方數，可得結論；
對于②，數列1，2，3，4，5，具有“變換P性質”，數列{b_n}為3，2，1，5，4，具有“P性質”；
對于③，因為11，4都只有與5的和才能構成完全平方數，所以1，2，3，…，11，不具有“變換P性質”．

解答：解：對于①，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-n
∵a₁=0，∴an=n2-n
∴a_i+i=i²（i=1，2，3，…）為完全平方數
∴數列{a_n}具有“P性質”；
對于②，數列1，2，3，4，5，具有“變換P性質”，數列{b_n}為3，2，1，5，4，具有“P性質”，∴數列{a_n}具有“變換P性質”；
對于③，因為11，4都只有與5的和才能構成完全平方數，所以1，2，3，…，11，不具有“變換P性質”．
故答案為：①，②．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．