Question

【題目】已知四邊形是梯形(如圖1)，，，，，E為的中點，以為折痕把折起，使點D到達點P的位置(如圖2)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點C到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點M，連接，，，根據，易得，再利用平面幾何知識，由，得到，利用線面垂直的判定定理得到平面，進而由面面垂直的判定定理得證.

（2）由（1）知，平面，為正三角形且邊長為1， 設點C到平面的距離為d，由等體積法求解.

（1）證明：連接，

因為，，，E為的中點，，

所以四邊形是邊長為1的正方形，且.

如圖，取的中點M，連接，，，

因為，

所以，且，.

因為，

所以.

所以

因為，，，

所以，

所以.

因為，

所以平面.

因為平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，，且.

因為，

所以為正三角形且邊長為1.

設點C到平面的距離為d，

則，

所以，

即，

解得.

所以點C到平面的距離為.