Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點.

（1）證明：點F在線段上移動時，為直角三角形；

（2）若F為線段的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質可得：，再利用線面垂直的性質定理判定定理及其正方形的性質可得：平面，進而證明平面，即可得出結論.

（2）由題意，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，令，易知平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，可得：.利用向量夾角公式即可得出.

（1）證明：因為，E為線段的中點，所以，

因為底面，平面，所以，

又因為底面為正方形，所以，

又，所以平面，

∵平面，∴，

因為，所以平面，

因為平面，所以，

所以點F在線段上移動時，為直角三角形.

（2）由題意，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，令，

則，，，，

易知平面的一個法向量為；

設平面的法向量為，則，可得：，，

取，

所以，

由圖可知：二面角的平面角為鈍角，因此余弦值為.