Question

【題目】已知冪函數f(x)＝mxα的圖象經過點A(2,2).

(1)試比較2ln f(3)與3ln f(2)的大小；

(2)定義在R上的函數g(x)滿足g(-x)=g(x), g(4+x)=g(4-x)，且當x∈[0,4]時，

. 若關于x的不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151個整數解，求實數n的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 2ln f(3)>3ln f(2)..

(2) .

【解析】分析：（1）兩數相除與1比較大小即可；

（2）由()′＝知,函數y＝在[1,e]單調遞增,在(e,4]單調遞減，g(-x)=g(x)且g(4+x)=g(4-x)，故g(4+x)=g(x-4)，從而g(x)為周期T=8的偶函數.畫出g(x)在一個周期內的圖象，利用數形結合分析即可.

詳解：函數f(x)＝mxα為冪函數，所以m＝1；又由于其圖象經過點A(2,2)，則有α＝1.所以f(x)＝x.

(1)＝＝＝>1

由于2ln f(3)>0, 3ln f(2)>0, 所以2ln f(3)>3ln f(2).

(2) 由()′＝知,函數y＝在[1,e]單調遞增,在(e,4]單調遞減.

因為g(-x)=g(x)且g(4+x)=g(4-x),故g(4+x)=g(x-4),從而g(x)為周期T=8的偶函數.

由當x∈[0,4]時，g(x)＝, 得g(x)在一個周期內的圖像如圖所示:

①當n=0時，顯然不合題意;

②當n>0時，g 2(x)+ng(x)>0g(x)[g(x)+n]>0g(x)<-n或g(x)>0.

在[-200,200]上的整數解共有401-100=301個，顯然不合題意；

③當n<0時，g2(x)+ng(x)>0g(x)[g(x)+n]>0g(x)<0或g(x)>-n.

由(1)知: >=, 要使不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151個整數解, 只需≤-n<, 解得:- <n≤-.

綜上, -<n≤-.