Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
設函數f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|= ， 當x＜﹣1時，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．
當﹣1≤x＜2時，不等式即3x＞2，求得x＞ ，∴ ＜x＜2．
當x≥2時，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．
綜上所述，不等式的解集為{x|x＞ 或x＜﹣6}．
（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值為f（﹣1）=﹣3，若x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，
只要﹣3≥t2﹣ t，即2t2﹣7t+6≤0，求得 ≤t≤2．
【解析】（Ⅰ）根據函數f（x）= ，分類討論，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值為f（﹣1）=﹣3，再根據f（﹣1）≥t2﹣ ，求得實數t的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．