Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕，正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B′；折痕l與AB交于點E，點M滿足關系式=+．
（1）如圖，建立以AB中點為原點的直角坐標系，求點M的軌跡方程；
（2）若曲線C是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，
F是AB邊上的一點，=4，過點F的直線交曲線C于P、Q兩點，且=λ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）用消參法求點M的軌跡方程，再所建的直角坐標系中，設M點坐標為（x，y），B′點坐標為（t，1），根據，把M點坐標用含參數t的式子表示，再消去參數t，就可得到點M的軌跡方程．
（2）先根據點M的軌跡求其關于邊AB對稱的曲線方程，可得到曲線C的方程，，再由=4，過點F的直線交曲線C于P、Q兩點，且=λ，把λ用直線PQ的斜率k表示，再根據k的范圍求λ的范圍即可．
解答：解：（1）以B為原點，BA所在直線為y軸，BC所在直線為x軸，
建立直角坐標系如圖所示：
設B′（t，1），E（0，m），B（0，-1），
其中0≤t≤2，-1≤m≤1．
∴，且，∴BEB′M是菱形，設M（x，y），
則=（x，y-m），=（t，2），且，即=0
由=0⇒tx+2（y-m）=0
由⇒   消去參數t，m，得y=-x²（0≤x≤2）
（2）依題意知曲線C的方程為：x²=-4y  （-2≤x≤2），
如圖設直線PQ的方程為y=kx-  （-≤k≤）．
代入曲線C的方程并整理，得x²+4kx-2=0．（-2≤x≤2），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則（*）
又∵=λ，，∴（-x₁，-）=λ（x₂，），
從而得x₁=-λx₂．
代入（*）得
1兩邊平方除以②式，得，
即，∵0≤k²≤，∴．
即2λ²-5λ+2≤0，∴≤λ≤2．∴實數λ的取值范圍為[，2]．
點評：本題考查了消參法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線位置關系的判斷．