Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的單調性；

（2）若且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）見解析.

【解析】

（1）求導得到導函數后，通過，確定的正負，從而得到函數的單調性；

（2）將問題轉化為證明：，設，只需證；通過求導運算，可知，再通過零點存在定理，不斷確定的最值位置，從而證得，證得結論.

（1）函數的定義域為，

因為，所以，

當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）若且，

欲證，只需證，

即證，

設函數，則，

當時，，

所以函數在上單調遞增，所以，

設函數，則，

設函數，則，

當時，，

故，使得，

從而函數在上單調增，在上單調減，

所以，且，

故存在，使得，

即當時，，當時，，

從而函數在上單調增，在上單調減，

因為，故當時，，

所以，

即.