Question

給出下列4個命題：
①函數f（x）=x|x|+ax+m是奇函數的充要條件是m=0：
②若函數f（x）=log（ax+1）的定義域是{x|x＜l}，則a＜-1；
③若log_a2＜log_b2，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=1（其中n∈N₊）；
④圓：x²+y²-10x+4y-5=0上任意點M關于直線ax-y-5a=2的對稱點，M′也在該圓上填上所有正確命題的序號是 ______．

Answer 1

①函數f（x）的定義域是實數集R，關于原點對稱，此函數奇函數的充要條件是f（-x）=-f（x），
即-x|x|-ax+m=-x|x|-ax-m，即 m=0，故①正確．
②函數f（x）=log（ax+1）的定義域是{x|x＜l}，故 a＜0，且ax+1＞0的解集是x＜l，故只有 a=-1，
故②不正確．
③∵log_a2＜log_b2，∴a＞b＞1，或者

b＞1 0＜a ＜1

，
當a＞b＞1時，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=

lim

n→∞

 

1- ( b a )n

1+( b a )n

=

1-0

1+0

=1，
當 b＞1 且 0＜a＜1時，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=

lim

n→∞

 

0-(-b)n

0+bn

=（-1）ⁿ=±1，
故③不正確．
④圓：x²+y²-10x+4y-5=0 即 （x-5）²+（y+2）²=34，圓心為（5，-2）
直線ax-y-5a=2 即a（x-5）-y-2=0，此直線過定點（5，-2），即圓的圓心，故圓：x²+y²-10x+4y-5=0 關于此直線
對稱，故④正確．
綜上，①④正確，②③不正確，
故答案為 ①④．