Question

【題目】選修：坐標系與參數方程

已知曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為 ．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程；

（Ⅱ）若曲線C經過伸縮變換 后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+4y2=4， （2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）曲線的極坐標方程化為，利用能求出曲線直角坐標方程；由直線過點，傾斜角為，能求出直線的參數方程；（Ⅱ）由曲線經過伸縮變換，后得到曲線，求出曲線為： ，把直線的參數方程代入直線，得，設對應的參數分別為，則 ，由此能求出.

試題解析：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，

∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，

∵直線l過點M（1，0），傾斜角為，

∴直線l的參數方程為，即，（t是參數）．

（Ⅱ）∵曲線C經過伸縮變換后得到曲線C′，

∴曲線C′為：（x﹣2）2+y2=4，

把直線l的參數方程，（t是參數）代入曲線C′：（x﹣2）2+y2=4，

得：，

設A，B對應的參數分別為t1，t2，則t1+t2=，t1t2=﹣3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．