【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）判斷并說明函數
的零點個數.若函數
所有零點均在區間
內，求
的最小值.
【答案】（1）函數
的單調增區間為
，單調減區間為
（2）
存在兩個零點，詳見解析； 
的最小值為3
【解析】
（1）求出導函數
，由
確定增區間，由
確定減區間；
（2）求出導函數
，分類討論的正負，確定
的單調性，再根據零點存在定理確定零點存在的區間．首先確定
上有一個零點，然后確定
，
，
，
上有否零點，從而可得的最小值．
解：（1）
的定義域為
，
，
令
，得
，
（舍）.
當
時，
，當時，
，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因此，函數的單調增區間為，單調減區間為.
（2）
，
當
時，
，
因為
單調遞減，
所以
，在上單調遞增，
又
，
，
所以存在唯一
，使得
.
當
，，
，
所以
單調遞減，
又
，
所以
，在
上單調遞增.
因為，所以
，故不存在零點.
當
時，，，
所以單調遞減，
又
，
，
所以存在
，使得
.
當
時，，單調遞增，
當
時，
，單調遞減.
又
，
，
，
所以存在唯一
，使得
.
當
時，
，故不存在零點.
綜上，存在兩個零點
，
，且，
，
因此的最小值為3.
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次小（如5，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.
（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數學期望;
（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年國慶節假期期間，某商場為掌握假期期間顧客購買商品人次，統計了10月1日7:00-23：00這一時間段內顧客0這一時間段內顧客購買商品人次，統計發現這一時間段內顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7:00 11:00，11:00 15:00，15:00 ~19:00，19:00~23:00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].
（1）求該天顧客購買商品時刻的中位數t與平均值
（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）現從10月1日在該商場購買商品的顧客中隨機抽取100名顧客，經統計有男顧客 40人，其中10人購物時刻在[19，23](夜晚)，女顧客60人，其中50人購物時刻在[7，19)(白天)，根據提供的統計數據，完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“男顧客更喜歡在夜晚購物”?
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】改革開放以來，中國快遞行業持續快速發展，快遞業務量從上世紀
年代的
萬件提升到2018年的
億件，快遞行業的發展也給我們的生活帶來了很大便利.已知某市某快遞點的收費標準為:首重(重量小于等于
)收費
元，續重
元
(不足按算). (如:一個包裹重量為
則需支付首付元，續重元，一共
元快遞費用)
（1）若你有三件禮物
重量分別為
，要將三個禮物分成兩個包裹寄出(如:
合為一個包裹，
一個包裹)，那么如何分配禮物，使得你花費的快遞費最少？
（2）對該快遞點近天的每日攬包裹數(單位:件)進行統計，得到的日攬包裹數分別為
件，
件，
件，
件，
件，那么從這天中隨機抽出
天，求這天的日攬包裹數均超過
件的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角
中，
，
通過以直線
為軸順時針旋轉
得到（
）.點
為斜邊
上一點.點
為線段
上一點，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）當直線
與平面所成的角取最大值時，求二面角
的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，AB為過焦點F且垂直于x軸的拋物線C的弦，已知以AB為直徑的圓經過點(-1，0).
（1）求p的值及該圓的方程；
（2）設M為l上任意一點，過點M作C的切線，切點為N，證明：MF⊥NF.
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