Question

如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3cm，O₁為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑．
（1）計算球O的表面積；
（2）若C是截面小圓上一點，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO₁和OO₁的中點，求異面直線AC與MN所成的角（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

解：（1）連接OA，由題意得，截面小圓半徑為4cm（2分）
在Rt△OAO₁中，O₁A=4，OO₁=3，的由勾股定理知，AO=5，（4分）
所以，球O的表面積為：4π•25=100π（cm²）．（7分）
（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補角）．（9分）
在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，則AC=4，（10分）
連接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：，（12分）
故異面直線AC與MN所成的角為．（14分）
分析：（1）求出小圓的半徑，然后利用球心到該截面的距離為3cm，小圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．
（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補角），連接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．
點評：本題主要考查了球的表面積，以及異面直線及其所成角和余弦定理的應用，屬于中檔題．