Question

14．第35屆牡丹花會期間，我班有5名學生參加志愿者服務，服務場所是王城公園和牡丹公園．
（1）若學生甲和乙必須在同一個公園，且甲和丙不能在同一個公園，則共有多少種不同的分配方案？
（2）每名學生都被隨機分配到其中的一個公園，設X，Y分別表示5名學生分配到王城公園和牡丹公園的人數，記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列和數學期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）由題意可得：共有2$（{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}+{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{2}{∁}_{1}^{1}）$種不同的分配方案．
（2）對于兩個公園分配人數分別為：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0．可得ξ=|X-Y|的取值分別為：1，3，5．于是P（ξ=1）=$\frac{2{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{3}}{{2}^{5}}$，P（ξ=3）=$\frac{2{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{4}}{{2}^{5}}$，P（ξ=5）=$\frac{2{∁}_{5}^{5}}{{2}^{5}}$．

解答 解：（1）學生甲和乙必須在同一個公園，且甲和丙不能在同一個公園，則共有2$（{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}+{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{2}{∁}_{1}^{1}）$=6種不同的分配方案．
（2）對于兩個公園分配人數分別為：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0．
∴ξ=|X-Y|的取值分別為：1，3，5．
∴P（ξ=1）=$\frac{2{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{3}}{{2}^{5}}$=$\frac{20}{32}$=$\frac{5}{8}$，P（ξ=3）=$\frac{2{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{4}}{{2}^{5}}$=$\frac{10}{32}$=$\frac{5}{16}$，P（ξ=5）=$\frac{2{∁}_{5}^{5}}{{2}^{5}}$=$\frac{2}{32}$=$\frac{1}{16}$．
可得ξ分布列：

ξ	1	3	5
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{1}{16}$

∴Eξ=1×$\frac{5}{8}$+2×$\frac{5}{16}$+3×$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{8}$．

點評 本題考查了隨機變量的分布列及其數學期望、組合數的計算公式、分類討論方法、古典概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．