Question

【題目】已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，其中，.

（1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值；

（3）若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，根據(jù)，，，可構(gòu)造方程進(jìn)而求得參數(shù)值；（3）先求得，由，得，兩式相減得：，化簡(jiǎn)得到，再由迭代的方法得到數(shù)列進(jìn)而證得數(shù)列是等差數(shù)列.

解析：

（1）證明：若，則當(dāng)(),

所以，

即，

所以，

又由，，

得，，即，

所以，

故數(shù)列是等比數(shù)列．

（2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（ ），

當(dāng)時(shí)，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①

當(dāng)時(shí)，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②

當(dāng)時(shí)，，即，得

　　　　　　　　　，　　　　　　　　③

②①，得 ，

③②，得 ，

解得．

代入①式，得．此時(shí)()，

所以，是公比為１的等比數(shù)列，

故．

（3）證明：若，由，得，

　　又，解得．

由，， ，，代入得，

所以，，成等差數(shù)列，

由，得，

兩式相減得：

即

所以

相減得：

所以

所以

，

因?yàn)?/span>，所以，

即數(shù)列是等差數(shù)列.