Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一動點P到右焦點的最短距離為2-

2

，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）在（2）的條件下，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義和性質即可解出a、b、c；
（2）利用點斜式方程得出直線PB的方程，與橢圓的方程聯立，利用根與系數之間的關系得出點P、B的坐標之間的關系，再利用點斜式表示直線AE的方程，進而即可證明過定點；
（3）分類討論直線MN是否與x軸垂直，與橢圓方程聯立得出點MN的坐標之間的關系，再表示出

OM

•

ON

，進而即可求出其取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得

a-c=2- 2 a2 c -c=b a2=b2+c2

解得

a=2 b=c= 2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）如圖所示：
設直線PB的方程為y=k（x-4），B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則A（x₁，-y₁）．
聯立

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y化為方程（1+2k²）x²-16k²x+32k²-4=0，
∵直線PB與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-4）＞0．（*）
x₁+x₂=

16k2

1+2k2

，x1x2=

32k2-4

1+2k2

．
直線AE的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，則x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

x1k(x2-4)+x2k(x1-4)

k(x1+x2-8)

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2(32k2-4) 1+2k2 - 4×16k2 1+2k2

16k2 1+2k2 -8

=

-8

-8

=1．
故直線AE過定點Q（1，0）．
（3）①當直線MN與x軸重合時，

OM

•

ON

=（2，0）•（-2，0）=-4；
②當直線MN與x軸不重合時，設直線MN的方程為my=x-1，
聯立

my=x-1 x2 4 + y2 2 =1

消去x化為方程（2+m²）y²+2my-3=0，可知△＞0．
可得y_M+y_N=

-2m

2+m2

，y_My_N=

-3

2+m2

．
∴

OM

•

ON

=x_Mx_N+y_My_N=（my_M+1）（my_N+1）+y_My_N=（1+m²）y_My_N+m（y_M+y_N）+1
=

-3(1+m2)

2+m2

+

-2m2

2+m2

+1=-4+

7

2+m2

，
∵m²≥0，∴0＜

7

2+m2

≤

7

2

，∴-4＜-4+

7

2+m2

≤-

1

2

，
∴

OM

•

ON

的取值范圍是(-4，-

1

2

]．
綜上可知：

OM

•

ON

的取值范圍是[-4，-

1

2

]．

點評：熟練掌握橢圓的定義和性質、直線與圓錐曲線的相交問題的解題模式、一元二次方程的根與系數的關系及分類討論的思想方法是解題的關鍵．