Question

【題目】在某市組織的一次數學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態分布N(60,100)，已知成績在90分以上的學生有13人．

(1)求此次參加競賽的學生總數共有多少人？

(2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學生，問受獎學生的分數線是多少？

（參考數據：若，則；；）

Answer 1

【答案】（1）10000；（2）80

【解析】分析： （1）設出參賽人數的分數，根據分數符合正態分布，根據成績在90分以上（含90分）的學生有13名，列出大于90分的學生的概率，成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的0.0013，列出比例式，得到參賽的總人數．

（2）設受獎的學生的分數線為x0．由P（X≥x0）= =0.0228<0.5，可得x0>60．進一步得知P（120-x0<X<x0）=1-2P（X≥x0）=0.9544，即可得x0=60+20=80，故受獎學生的分數線是80．

詳解：設學生的得分情況為隨機變量X，X～N(60,100)．

則μ＝60，σ＝10.

(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.

∴P(X＞90)＝ [1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3

∴學生總數為：＝10 000(人)．

(2)成績排在前228名的學生數占總數的0.022 8.設分數線為x.

則P(X≥x0)＝0.022 8.

∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.

又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.

∴x0＝60＋2×10＝80(分)．

點晴：正態分布問題，注意三個關鍵點：

（1）對稱軸 ；②標準差 ；③分布區間。利用對稱性求制定區間范圍內的概率值。