Question

【題目】在底面為菱形的四棱柱中，平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由已知可證，即可證明結論；

（2）根據已知可證平面，建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面和平面的法向量坐標，由空間向量的二面角公式，即可求解.

方法一：（1）依題意，且∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，∴，

∵且為的中點，∴，

∵平面且，

∴平面，

以為原點，分別以為軸、軸、軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

∴

設平面的法向量為，

則，∴，取，則.

設平面的法向量為，

則，∴，取，則.

∴，

設二面角的平面角為，則，

∴二面角的正弦值為.

方法二：（1）證明：連接交于點，

因為四邊形為平行四邊形，所以為中點，

又因為四邊形為菱形，所以為中點，

∴在中，且，

∵平面，平面，

∴平面

（2）略，同方法一.