Question

已知函數（a≠0且a≠1）．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）（理）記（2）中的函數的圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．
（文） 記（2）中的函數的圖象為曲線C，試問曲線C是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于a≠0且a≠1，=（x+），由雙鉤函數y=x+（m＞0）在（-∞，-]，[，+∞）上單調遞增，在[-，0），（0，]單調遞減，可判斷f（x）在當a＜0或當a＞1時的單調區間；當0＜a＜1時，可由y=為R上的增函數，y=為（-∞，0），（0，+∞）上的增函數，判斷即可；
（2）由題意及（1）中③可知且a＞1，可解得a=3，從而可求得函數解析； 
（3）（理） 假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，可設l：y=kx（k≠0），設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，則P'也在曲線C上，列式計算即可；
（文）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，再證明f（-x）=-f（x）即可．
解答：解：∵=（x+），
∴由雙鉤函數y=x+（m＞0）在（-∞，-]，[，+∞）上單調遞增，在[-，0），（0，]單調遞減，可得：
①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為及，
②當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為及；
又當0＜a＜1時，y=為R上的增函數，y=為（-∞，0），（0，+∞）上的增函數，
∴③當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）
（2）由題設及（1）中③知且a＞1，解得a=3，（9分）
因此函數解析式為（x≠0）．                     （10分）
（3）（理）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，故可設l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，則P'也在曲線C上，列式計算即可；
設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，則P'也在曲線C上，由此得，，
且，，（14分）
整理得，解得或，
所以存在直線及為曲線C的對稱軸．           （16分）
（文）該函數的定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲線C的對稱中心為（0，0），
因為對任意x∈D，，
所以該函數為奇函數，曲線C為中心對稱圖形．                    （10分）
點評：本題考查函數奇偶性、單調性與對稱性，函數解析式的求解，（1）由實數a的不同取值，研究函數的單調區間是難點，可以利用導數研究，著重考查綜合分析、綜合應用的能力，屬于難題．