Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一個橫坐標為2的點到其焦點的距離為

5

2

．
（1）求p的值；
（2）若A是拋物線y²=2px上的一動點，過A作圓M：（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于E、F兩點，交y軸于B、C兩點，當A點橫坐標大于2時，求△ABC的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y²=2px（p＞0）上一個橫坐標為2的點到其焦點的距離為

5

2

，由拋物線的定義可得結論；
（2）確定直線AB的方程，利用圓心（1，0）到AB的距離為1，建立方程，再利用韋達定理，表示出三角形的面積，利用基本不等式可求△ABC的面積的最小值．

解答：解：（1）由拋物線的定義知，2+

p

2

=

5

2

，所以p=1．…（4分）
（2）設A（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），直線AB的方程為y-b=

y0-b

x0

x，即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
又圓心（1，0）到AB的距離為1，所以

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，…（8分）
即（y₀-b）²+x02=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x02b²
又x₀＞2，上式化簡得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0    …（10分）
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個實數根
所以b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，…（12分）
則（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

=

4x02

(x0-2)2

，即|b-c|=

2x0

x0-2

，
∴S_△ABC=

1

2

|b-c|x₀=

x02

x0-2

=x₀-2+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8     …（13分）
當（x₀-2）²=4時，上式取等號，此時x₀=4，y=±2

2

因此S_△ABC的最小值為8．…（14分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查三角形面積的計算，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．