Question

對于下列命題：
①函數y=-sin（kπ+x）（k∈Z）為奇函數；
②函數y=cos|x|是最小正周期為π的周期函數；
③

lim

x→

∞（

x2+x

-x）=

1

2

；
④函數y=x|x|在x=0處連續且可導．
其中正確命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：依次分析命題：①函數y=-sin（kπ+x）（k∈Z）=

sinx，k是奇數 -sinx，k是偶數

，為奇函數，成立；②函數y=cos|x|是最小正周期為2π的周期，故②不成立；③

lim

x→∞

(

x2+x

-x)=

lim

x→∞

( x2+x -x)( x2+x +x)

x2+x +x

，

lim

x→∞

x

x2+x +x

=

1

2

，故③成立；④函數y=x|x|在x=0處連續且可導，成立．綜合可得答案．

解答：解：①函數y=-sin（kπ+x）（k∈Z）=

sinx，k是奇數 -sinx，k是偶數

，為奇函數，成立；
②函數y=cos|x|是最小正周期為2π的周期函數，故②不成立；
③

lim

x→∞

(

x2+x

-x)=

lim

x→∞

( x2+x -x)( x2+x +x)

x2+x +x

lim

x→∞

x

x2+x +x

=

1

2

，故③成立；
④函數y=x|x|在x=0處連續且可導，成立．
故答案：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要注意函數的連續性和極限的靈活運用．