Question

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.判斷以為直徑的圓是否過點，并說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標準方程為；（2）點不在以線段為直徑的圓上．

解析試題分析：（1）求橢圓的標準方程，已知橢圓的離心率為,短軸端點分別為，可設橢圓方程為，由，可得，從而得橢圓的標準方程；（2）由于,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，可設則，若點在以線段為直徑的圓上，則，即，即，因此可寫出直線的方程為，令，得，寫出直線的方程為，令，求得.寫出向量的坐標，看是否等于０，即可判斷出．
（1）由已知可設橢圓的方程為：.                    1分
由，可得,                                  2分
解得,                                                   3分
所以橢圓的標準方程為.                               4分
（2）法一：
設且，則.                             5分
因為,
所以直線的方程為.                             6分
令，得，所以.                         7分
同理直線的方程為，求得.              8分
                               9分
所以,                         10分
由在橢圓：