Question

【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）可證平面，從而得到，又可證，從而得到平面.

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和面的法向量后計算它們的夾角的余弦值，再結合二面角為鈍角以及同角的三角函數基本關系式可求二面角的正切值.

（1）證明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，

∵矩形菱形，平面， ∴平面.

∵平面，∴，

∵菱形中，

，，，故，

∴由勾股定理得，∴，

∵，∴平面.

（2）由（1）可知，，兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

由已知，，，，

，，

設平面的法向量，

則，取得.

設平面的法向量，則

，取得

設二面角的平面角為，

則且，所以，

由為鈍角，所以二面角的正切值為.