Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為．

（1）過O作線段的垂線，垂足為H，求點(diǎn)H的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）求兩點(diǎn)間的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先將線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，代入曲線方程，化簡(jiǎn)得，再根據(jù)三角形中等面積法，得到，從而得H的軌跡是圓，得到點(diǎn)H的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）表示出兩點(diǎn)間的距離，再設(shè)，利用關(guān)系式，將也用表示出來，則可得，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求出兩點(diǎn)間的距離的取值范圍.

（1）因?yàn)榍�線的參數(shù)方程為所以曲線的普通方程為．

因?yàn)榍�線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，

所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為

，

代入曲線的方程得，

所以，

所以兩個(gè)式子相加得．

由題意可知，所以，

所以點(diǎn)H的軌跡是圓， 所以點(diǎn)H的軌跡的方程為．

（2）兩點(diǎn)間的距離為，設(shè)，則，

令函數(shù)，

所以，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，

在區(qū)間上是增函數(shù)． 又，

所以函數(shù)的最大值為13，最小值為，

所以兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是．