Question

【題目】以A表示值域為R的函數組成的集合，B表示具有如下性質的函數組成的集合：對于函數，存在一個正數M，使得函數的值域包含于區間[-M，M]。例如，當， 時， ，現有如下命題：

①設函數的定義域為D，則“”的充要條件是“”；

②若函數，則有最大值和最小值；

③若函數， 的定義域相同，且， ，則

④若函數，則有最大值且，

其中的真命題有_____________。（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】對于①，若f（x）∈A，則f（x）的值域為R，于是，對任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）=b，故①正確；

對于②，取函數f（x）=x（﹣1＜x＜1），其值域為（﹣1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于[﹣M，M]=[﹣1，1]，但此時f（x）沒有最大值和最小值，故②錯誤；

對于③，當f（x）∈A時，由①可知，對任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，

∴當g（x）∈B時，對于函數f（x）+g（x），如果存在一個正數M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[﹣M，M]，那么對于該區間外的某一個b0∈R，一定存在一個a0∈D，使得f（a0）=b﹣g（a0），即f（a0）+g（a0）=b0[﹣M，M]，故③正確；

此時f（x）= （x＞﹣2），易知f（x）∈[﹣ ， ]，∴存在正數M=，使得f（x）∈[﹣M，M]，故④正確；

故答案為：①③④。