Question

設數列{a_n}是公差不為0的等差數列，S_n為前n項和，滿足a₃，2a₅，a₁₂成等差數列，S₁₀=60．
（1）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）試求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的定義、通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）利用通項公式a_n≥0，即可得出此數列從哪一項開始大于0，進而即可去掉絕對值符號，再利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d≠0，
∵滿足a₃，2a₅，a₁₂成等差數列，
∴4a₅=a₃+a₁₂，
又S₁₀=60．
∴

4(a1+4d)=2a1+13d 10a1+ 10×9 2 d=60

，解得

a1=-3 d=2

．
∴數列{a_n}的通項公式a_n=-3+（n-1）×2=2n-5．
前n項和Sn=-3n+

n(n-1)

2

×2=n²-4n．
（2）由a_n=2n-5≥0，解得n≥

5

2

．
∴當n=1，2時，a_n＜0；
當n≥3時，a₃＞0．
∴當n=1時，|a₁|=5-2×1=3；
當n=2時，|a₁|+|a₂|=5-2+5-2×2=4；
當n≥3時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n=S_n-2（a₁+a₂）=n²-4n-2（-3-1）=n²-4n+8．
綜上：當n=1時，|a₁|=3；
當n=2時，|a₁|+|a₂|=4；
當n≥3時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=n²-4n+8．

點評：本題考查了等差數列的定義、通項公式及其前n項和公式及含絕對值符號的數列求和問題等基礎知識與基本技能，分類討論是解決含絕對值符號問題的關鍵，屬于中檔題．