Question

【題目】在中， ， ， ， 是的中點， 是線段上一個動點，且，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.

（1）當時，證明： 平面；

（2）是否存在，使得三棱錐的體積是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 存在，使得三棱錐的體積是.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得當時， 是的中點，而是的中點，由幾何關系有.利用面面垂直的性質定理，結合平面平面，平面平面，可得平面.

(2)連接，結合(1) 結論可得平面，即是三棱錐的高，且.而，計算可得.

假設存在滿足題意的，則三棱錐的體積為.解得，則，即存在滿足題意.

試題解析：

（1）在中， ，

即，則，

取的中點，連接交于，

當時， 是的中點，而是的中點，

∴是的中位線，∴.

在中， 是的中點，

∴是的中點.

在中， ，

∴，則.

又平面平面，平面平面，

∴平面.

（2）連接，由（1）知，

∴，

而平面平面,平面平面.

∴平面，

即是三棱錐的高，且.

過作于點.

則，

即，

可得.

假設存在滿足題意的，則三棱錐的體積為

.

解得，

∴，

故存在，使得三棱錐的體積是.