Question

【題目】設橢圓的離心率是，過點的動直線于橢圓相交于兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得弦長為．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在與點不同的定點，使得直線和的傾斜角互補？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，結合的關系，解方程可得進而得到橢圓方程；

（Ⅱ）假設存在定點，使得直線的傾斜角互補，可設點的坐標為，即有，運用直線的斜率公式，化簡整理，結合恒成立問題解法，即可得到所求定點．

（Ⅰ）由已知可得，橢圓經過點，

因此，,解得，

所以橢圓E方程為；

（Ⅱ）設點的坐標為，

當直線與x軸垂直時，直線與的傾斜角均為，滿足題意，

此時，且；

當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，，

聯立，得，

其判別式，

，，

直線的傾斜角互補，

，

∴，

即，

整理得，

把，代入得，

所以，即，

綜上所述存在與點不同的定點滿足題意．