Question

【題目】已知圓，圓與軸交于兩點，過點的圓的切線為是圓上異于的一點，垂直于軸，垂足為，是的中點，延長分別交于．

（1）若點，求以為直徑的圓的方程，并判斷是否在圓上；

（2）當在圓上運動時，證明：直線恒與圓相切．

Answer 1

【答案】（1）圓的方程為，且在圓上；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）已知點、的坐標，可求出直線的方程，可求出點的坐標，由圓的方程可知點的坐標，可求出以為直徑的圓的方程，將點的坐標代入圓的方程，得在圓上；（2）要證明結論，需證明，可先設點坐標，可求點坐標，進而可求點坐標，得與斜率，得得結論．

試題解析：（1）由，∴直線的方程為，

令，得，由，,則直線的方程為，

令，得，∴為線段的中點，以為直徑的圓恰以為圓心，半徑等于，

所以，所求圓的方程為，且在圓上，

（2）設，則，直線的方程為，

在此方程中令，得，

直線的斜率，

若，則此時與軸垂直，即，若，則此時直線的斜率為

∴，即，則直線與圓相切