Question

【題目】已知拋物線：（），圓：（），拋物線上的點到其準線的距離的最小值為.

（1）求拋物線的方程及其準線方程；

（2）如圖，點是拋物線在第一象限內一點，過點P作圓的兩條切線分別交拋物線于點A，B（A，B異于點P），問是否存在圓使AB恰為其切線？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的方程為，準線方程為.（2）存在，

【解析】

（1）由得到p即可；

（2）設，利用點斜式得到PA的的方程為，由到PA的距離為半徑可得，同理，同理寫出直線AB的方程，利用點到直線AB的距離為半徑建立方程即可.

解：（1）由題意得，解得，

所以拋物線的方程為，準線方程為.

（2）由（1）知，.

假設存在圓使得AB恰為其切線，設，，

則直線PA的的方程為，即.

由點到PA的距離為r，得，

化簡，得，

同理，得.所以，是方程的兩個不等實根，

故，.

易得直線AB的方程為，

由點到直線AB的距離為r，得，

所以，

于是，，

化簡，得，即.

經分析知，，因此.