Question

【題目】已知函數，其中函數，.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）當時，求函數在上的最大值；

（3）當時，對于給定的正整數，問：函數是否有零點？請說明理由.（參考數據，，，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，函數無零點；當時，函數有零點，理由見解析.

【解析】

（1）由導數可得切線斜率，進而由點斜式即可得切線方程；

（2）先求得，可得或，再比較和的大小，利用函數單調性可得最大值；

（3）先證明，函數無零點，構造，，利用可證得，，函數有零點，利用零點存在性定理即可證得.

（1），故，，∴切線方程為，即.

（2），，可得或.

①，即時，在上遞減，在上遞增，

∴；

②，即時，在上遞增，遞減，在上遞增，

∴；

綜上所述，；

（3），函數無零點，

，函數有零點.

理由如下：

時，證明即可，即證明.

令，，

而，

令，解得：，令，解得：，

∴，

，

令，解得：，

令，解得：，

故，

∴，

故命題得證.

當時，，

，，

所以，函數有零點.