Question

組委會計劃對參加某項田徑比賽的12名運動員的血樣進行突擊檢驗，檢查是否含有興奮劑HGH成分．采用如下檢測方法：將所有待檢運動員分成4個小組，每組3個人，再把每個人的血樣分成兩份，化驗室將每個小組內的3個人的血樣各一份混合在一起進行化驗，若結果中不含HGH成分，那么該組的3個人只需化驗這一次就算合格；如果結果中含HGH成分，那么需對該組進行再次檢驗，即需要把這3個人的另一份血樣逐個進行化驗，才能最終確定是否檢驗合格，這時，對這3個人一共進行了4次化驗，假定對所有人來說，化驗結果中含有HGH成分的概率均為

1

10

．
（Ⅰ）求一個小組只需經過一次檢驗就合格的概率；
（Ⅱ）設一個小組檢驗次數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望；
（Ⅲ）至少有兩個小組只需經過一次檢驗就合格的概率．（精確到0.01，參考數據：0.271³≈0.020，0.271⁴≈0.005，0.729²≈0.500）

Answer 1

分析：（1）一個小組只需經過一次檢驗就合格，則必有此三個人的血樣中均不含HGH成分，根據相互獨立事件同時發生的概率公式得到要求的概率．
（2）一個小組檢驗次數為隨機變量ξ，若一次檢驗不合格，則要挨個檢驗三個人的血液，最終結果要么查一次，要么查三次，得到變量的可能取值，當變量是4時，用三人都不含HGH成分的對立事件，寫出分布列和期望．
（3）四個小組中至少有兩個小組只需經過一次檢驗就合格的對立事件是有一個或0個檢驗不合格，根據對立事件和獨立重復試驗的概率公式得到概率．

解答：解：（Ⅰ）∵化驗結果中含有HGH成分的概率均為

1

10

．
一個小組只需經過一次檢驗就合格，則必有此三個人的血樣中均不含HGH成分
根據相互獨立事件同時發生的概率公式得到
∴所求概率為P=(1-

1

10

)3=(

9

10

)3=0.729．

（Ⅱ）一個小組檢驗次數為隨機變量ξ，若一次檢驗不合格，則要挨個檢驗三個人的血液，
最終結果要么查一次，要么查三次，得到變量的可能取值
∴隨機變量ξ的取值可為1，4，
當變量是1時，上面已經做出結果，
當變量是4時，用三人都不含HGH成分的對立事件．
∴P(ξ=1)=(1-

1

10

)3=(

9

10

)3=0.729P(ξ=4)=1-(

9

10

)3=0.271
∴ξ的分布列為

∴Eξ=(

9

10

)3+4×[1-(

9

10

)3]=1.183

（Ⅲ）四個小組中至少有兩個小組只需經過一次檢驗就合格的對立事件是有一個或0個檢驗不合格，
根據對立事件的概率公式得到概率為
P=1-C₄⁰（0.729）⁰（0.271）⁴-C₄¹（0.729）¹（0.271）³≈0.94

點評：本題主要考查獨立重復試驗和對立事件，正難則反是解題是要時刻注意的，我們盡量用簡單的方法來解題，這樣可以避免一些繁瑣的運算，使得題目看起來更加清楚明了．