Question

(本小題14分)已知函數f(x)=ax³+bx²+cx是R上的奇函數，且f(1)=2,f(2)＝10

（1）確定函數的解析式;（2）用定義證明在R上是增函數；

（3）若關于x的不等式f(x²－4)+f(kx+2k)<0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范圍。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（2）證明：設x₁,x₂是R上的任意兩個不相等的實數，且x₁<x₂, 則

       

∴函數f(x)在R上是增函數。……………………………………………………………..10

（3）∵f(x²－4)+f(kx+2k)<0     ∴f(x²－4)<－f(kx+2k)＝f(－kx－2k)

     又因為f(x)是增函數，即x²－4<－kx－2k

∴x²+kx+2k－4<0在（0，1）上恒成立               ………………………………..12

     法（一）令g(x) =x²+kx+2k－4   x∈（0，1）

             ∴k的取值范圍是（－∞，1] ……………14

法（二）上式可化為k(x+2)<4－x²  ∵x∈（0，1） 即x+2>0    ∴

    令 U(x)=2-x  x∈（0，1）  ∵U(x)=2-x在（0，1）上是減函數 ∴U(x)<1   即k≤1 …..14

 

【解析】略