Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數）.證明:

（1）存在唯一的極值點;

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為相反數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）要證明存在唯一的極值點，通常情況下，即證明有唯一解，且在此解左右兩邊的單調性不一致即可；

（2）首先借助第（1）問的結論與零點存在定理證明在只有一個零點，在只有一個零點，然后令去證明，即可得到的兩根互為相反數.

證明:（1）的定義域為

，

當時,；

當時,,即在上是增函數，

又，

所以存在,使得

并且當時,當時,，

所以當時,是減函數，

當時,是增函數，

即是唯一的極值點,且是極小值點。

（2）由（1）得： 在上是減函數，其中，

又

所以在只有一個零點，且這個零點在區間上，

在上是增函數，

又，，

所以在只有一個零點，且這個零點在區間上，

所以僅有兩個零點,分別記作

由于，

所以，即，故.

即也是的零點,即

所以,即的兩根互為相反數.