Question

函數f(x)=(a，b是非零實常數)，滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個解。
(1)求a、b的值；
(2)是否存在實常數m，使得對定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？為什么？
(3)在直角坐標系中，求定點A(–3,1)到此函數圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值。

Answer 1

 （1）1；（2）（3）3

(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，
所以=1無解或有解為0，若無解，則ax+b=1無解，得a=0，矛盾，若有解為0，則b=1，所以a=。
(2)f(x)=，設存在常數m，使得對定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
取x=0，則f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，
又m= –4時，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常數m= –4，使得對定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
(3)|AP|²=(x+3)²+()²，設x+2=t，t≠0，
則|AP|²=(t+1)²+()²=t²+2t+2–+=(t²+)+2(t–)+2=(t–)²+2(t–)+10
="(" t–+1)²+9，所以當t–+1=0時即t=，也就是x=時，|AP| _min =" 3" 。