Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：函數在區間上存在唯一的極大值點；

（Ⅲ）證明：函數有且僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導，從而解得切線的切率，根據點斜式即可求得結果；

（Ⅱ）根據的單調性，即可容易求證；

（Ⅲ）根據的正負，判斷函數的單調性，即可容易證明.

（Ⅰ）因為，

所以，

，

又因為，

所以切線方程為，

即：.

（Ⅱ）證明：因為和在上單調遞減，

所以在上單調遞減，

且．

又，

所以在內有且僅有一個實數，使得=0，

并且當時，，

當時，，

所以在區間上有唯一的極大值點.

（Ⅲ）證明：當時，

，，

此時.

當時，

，，

此時.

當時，

因為，所以在內單調遞增.

因為，，

所以在上有且僅有一個零點.

綜上所述，函數有且僅有一個零點.