Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0.

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程;

(2)從圓C外一點P(x，y)向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標.

Answer 1

1、切線方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.

2、P(-，).

解析:

(1)圓C：x²+y²+2x-4y+3=0的標準方程為(x+1)²+(y-2)²=2，

∴圓心C(-1，2)，半徑r=.

設圓C的切線在x軸和y軸上的截距分別為a、b.

當a=b=0時，

切線方程可設為y=kx，

即kx-y=0.

由點到直線的距離公式得

=.解得k=2±.

∴切線方程為y=(2±)x.

當a=b≠0時，

切線方程為+=1，

即x+y-a=0.

由點到直線的距離公式得

=.

解之,得a=-1或a=3.

∴切線方程為x+y+1=0,x+y-3=0.

總之，所求切線方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.

(2)連結MC，則|PM|²=|PC|²-|MC|^2.

∵|PM|=|PO|,

∴|PC|²-|MC|²=|PO|²,

即(x+1)²+(y-2)²-2=x²+y^2.

整理得x=2y-.

∴|PM|=|PO|=

=.

當y=-=時，|PM|最小,

此時x=2×-=-.

∴P(-，).