Question

一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形．

(Ⅰ)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

(Ⅱ)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁？如何組拼？試證明你的結論；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下，設正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點為E，求平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長為6的正方形，高為CC1＝6，故所求體積是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 　　(Ⅱ)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，其拼法如圖所示．　　　　　　　　　　　　6分 　　證明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形，于是，故所拼圖形成立．　　　　　　8分 　　(Ⅲ)以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖)， 　　∵正方體棱長為6，則E(0，0，3)，B1(0，6，6)，A(6，6，0)． 　　設向量n＝(x，y，z)，滿足n⊥，n⊥， 　　于是，解得．　　　　　　　　　　12分 　　取z＝2，得n＝(2，－1，2)．又(0，0，6)， 　　 　　故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為．　　　　　　　14分