Question

【題目】已知,函數(shù).

(Ⅰ)求在區(qū)間上的最小值;

(Ⅱ)設(shè),當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 利用得，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)(i)當(dāng)時(shí)；(ii)當(dāng)時(shí),(iii)當(dāng)時(shí)，分別求解函數(shù)的最值；(Ⅱ) ，則，通過(guò)①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，i當(dāng)時(shí)，ii當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) ,由,得,

當(dāng)時(shí), 為增函數(shù);

當(dāng)時(shí), 為減函數(shù).

(i)當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上為減函數(shù), ;

(ii)當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上為增函數(shù), ;

(iii)當(dāng)時(shí), ,

若時(shí), ; 若時(shí), .

綜上,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

(Ⅱ) ,則.

①當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,則,

∵,∴存在,使得,于是在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), 與恒成立相矛盾,不符合題意.

②當(dāng)時(shí), ),則,即在上單調(diào)遞增,

∴,即,∴.

(i)當(dāng)時(shí), ,于是在上單調(diào)遞增,

∴恒成立,符合題意.

(ii)當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,

則,即在上單調(diào)遞增,所以,

∵,∴存在,使得,于是在區(qū)間上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), 與恒成立相矛盾,不符合題意.

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.