Question

設函數y=f（x）對一切實數x都有f（3+x）=f（3-x）且方程恰有6個不同的實根，則這6個根之和為

18

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），可得函數的圖象關于x=3對稱，從而得到方程f（x）=0的6個實數解中有3對，每一對的和為6，由此可得結論．

解答：解：∵對于任意實數x，函數f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），
∴函數的圖象關于x=3對稱，
∴函數的零點關于x=3對稱，
∴方程f（x）=0的根關于x=3對稱，
∴方程f（x）=0的6個實數解中有3對，
∴成對的兩個根之和等于2×3=6，
∴6個實根之和是6×3=18．
故答案為：18．

點評：本題考查函數的零點與方程的根的關系，解題的關鍵是看出函數的圖象關于直線x=1對稱，得到函數的零點是成對出現的，屬于基礎題．