Question

【題目】為保障城市蔬菜供應，某蔬菜種植基地每年投入20萬元搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入2萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜.根據以往的經驗，發現種西紅柿的年收入、種黃瓜的年收入與大棚投入分別滿足，.設甲大棚的投入為，每年兩個大棚的總收入為.（投入與收入的單位均為萬元）

（Ⅰ）求的值.

（Ⅱ）試問：如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使年總收人最大？并求最大年總收入.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）39萬元（Ⅱ）甲大棚投入18萬元，乙大棚投入2萬元時，最大年總收入為44.5萬元.

【解析】

（I）根據題意求得的表達式，由此求得的值.

（II）求得的定義域，利用換元法，結合二次函數的性質，求得的最大值，以及甲、乙兩個大棚的投入.

（Ⅰ）由題意知，

所以（萬元）.

（Ⅱ）依題意得.

故.

令，則，，

顯然在上單調遞增，

所以當，即時，取得最大值，.

所以當甲大棚投入18萬元，乙大棚投入2萬元時，年總收入最大，且最大年總收入為44.5萬元.