Question

【題目】如圖所示，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F．

（1）求證：BD⊥AD；
（2）若AC=BD，AB=6，求弦DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA，

又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

從而∠PFA=∠BDA．

又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，則∠BDA=90°，

故AB為圓的直徑，

∴BD⊥AD．

（2）解：連接BC，DC．

由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90°．

在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，從而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB=∠CBA．

又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．

∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE為直角，

∴ED為直徑，又由（1）知AB為圓的直徑，

∴DE=AB=6

【解析】（1）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，進一步得到∠EGA=∠DBA，從而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，說明AB為圓的直徑；（2）連接BC，DC．由AB是直徑得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．進一步得到ED為直徑，則ED長可求．