Question

已知a，b∈R+，則

ab

，

a+b

2

，

a2+b2 2

，

2ab

a+b

的大小順序是（　　）

• A．

  a+b

  2

  ≥

  ab

  ≥

  a2+b2 2

  ≥

  2ab

  a+b

• B．

  2ab

  a+b

  ≥

  a2+b2 2

  ≥

  ab

  ≥

  a+b

  2

• C．

  a2+b2 2

  ≥

  a+b

  2

  ≥

  ab

  ≥

  2ab

  a+b

• D．

  a2+b2 2

  ≥

  a+b

  2

  ≥

  2ab

  a+b

  ≥

  ab

Answer 1

分析：利用作差法可比較

2ab

a+b

≤

ab

，由基本不等式可知

ab

≤

a+b

2

，利用平方后再作差的方法可得到

a+b

2

≤

a2+b2 2

，從而得到答案．

解答：解：∵a，b∈R⁺，
∴

ab

-

2ab

a+b

=

ab

（1-

2 ab

a+b

）=

ab

a+b

•(

a

-

b

)2≥0，
∴

ab

≥

2ab

a+b

；
由基本不等式得：a，b∈R⁺，

ab

≤

a+b

2

；
又

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=

(a-b)2

4

≥0，
∴

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2，
∴

a2+b2 2

≥

a+b

2

．
綜上所述，a，b∈R⁺，

a2+b2 2

≥

a+b

2

≥

ab

≥

2ab

a+b

．
故選C．

點評：本題考查不等式比較大小，重點考察基本不等式的應用與作差法比較大小，注重方法的靈活性，屬于中檔題．