Question

函數y=f（x）的定義域為（-∞，+∞），且具有以下性質：①f（-x）-f（x）=0；②f（x+2）•f（x）=1；③y=f（x）在[0，2]上為單調增函數，則對于下述命題：
（1）y=f（x）的圖象關于原點對稱
（2）y=f（x）為周期函數且最小正周期是4
（3）y=f（x）在區間[2，4]上是減函數
正確命題的個數為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：由①得f（x）為偶函數，即函數圖象關于y軸對稱故（1）錯；由②求出函數的最小正周期為4，故（2）對；再結合③判斷出（3）對．

解答：解：由題意知f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數，即函數圖象關于y軸對稱．
由②得：f（x+2）=

1

f(x)

，∴f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），則f（x）為周期函數且T=4．
∵y=f（x）在[0，2]遞增，∴f（x）在[-2，0]遞減，
∵f（x）為周期函數且T=4，∴f（x）在[2，4]遞減，
由此可知（2）（3）正確，（1）不正確．
故選C．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性、單調性和周期性的綜合運用，考查了學生對函數性質的運用能力和對式子的變形能力．