Question

【題目】如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.

求證:(1)BC1⊥AB1.

(2)BC1∥平面CA1D.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】【證明】如圖,以C1點為原點,C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設(shè)AC=BC=BB1=2,

則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),

C1(0,0,0),D(1,1,2).

(1)由于=(0,-2,-2),

=(-2,2,-2),

所以·=0-4+4=0,

因此⊥,

故BC1⊥AB1.

(2)取A1C的中點E,連接DE,由于E(1,0,1),

所以=(0,1,1).

又=(0,-2,-2),

所以=-.

又ED和BC1不共線,所以ED∥BC1.

又DE平面CA1D,BC1平面CA1D,

故BC1∥平面CA1D.