Question

（本小題共13分）

已知函數

   （I）若x=1為的極值點，求a的值；

   （II）若的圖象在點（1，）處的切線方程為，

（i）求在區間[-2，4]上的最大值；

（ii）求函數的單調區間.

Answer 1

（I）0或2

（II）（i）8

（ii）當m=2時，G（x）在（－∞，+∞）單調遞減；

時，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）單調遞減，在（2－m，0）單調遞增；

時，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）單調遞減，在（0，2－m）單調遞增.

解析:

（I）

       是極值點

       ，即

       或2.…………………………………………………………3分

（II）在上.

     ∵（1，2）在上  

     又

    

    

 （i）由可知x=0和x=2是的極值點.

    

     在區間[－2，4]上的最大值為8.…………………………8分

 （ii）

     

      令，得

      當m=2時，，此時在單調遞減

      當時：     

x	(－∞，2，－m)	2－m	（2－m，0）	0	（0，+∞）
G′（x）	－	0	+	0	－
G（x）	減		增		減

當時G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）單調遞減，在（2－m，0）單調遞增.

當時：

x	（－∞，0）	0	（0，2－m）	2－m	（2－m+∞）
G′（x）	－	0	+	0	－
G（x）	減		增		減

    此時G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）單調遞減，在（0，2－m）單調遞增，綜上所述：當m=2時，G（x）在（－∞，+∞）單調遞減；

時，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）單調遞減，在（2－m，0）單調遞增；

時，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）單調遞減，在（0，2－m）單調遞增.

                     ………………………………………………………………13分