【題目】已知數列
中，
，前n項和為
，且
.
（1）求
；
（2）證明數列為等差數列，并寫出其通項公式；
（3）設
，試問是否存在正整數p，q（其中
），使
成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組（p，q）；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2）證明見解析；
（3）存在唯一正整數數對
，
，
，使
，
，
成等比數列；詳見解析
【解析】
（1）令
，即可求
；
（2）根據等差數列的等差中項法即可證明數列
為等差數列，并寫出其通項公式；
（3）根據等比數列的定義和通項公式，分類討論
，通過數列的單調性求出數列最值，結合題意判斷求解，即可得到結論．
（1）令，則
.
（2）由
，即
，①
得
.②
②-①，得
.③
于是，
.④
③+④，得
，即
.
又，
，
，
所以，數列
是以0為首項，1為公差的等差數列.
所以，.
（3）假設存在正整數數組
（其中
），使
成等比數列，
則
成等差數列，于是
.
時，
，故數列
為遞減數列，
時，
，故數列
為遞減數列，
，
，即
時，.
又當
時，
，故無正整數q使得成立.
綜上得，存在唯一正整數數對，，，使，，成等比數列.
全優沖刺100分系列答案
英才點津系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（ ）
A. P1P2＝
B. P1＝P2＝
C. P1+P2＝
D. P1＜P2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某縣共有戶籍人口60萬，經統計，該縣60歲及以上、百歲以下的人口占比
，百歲及以上老人15人.現從該縣60歲及以上、百歲以下的老人中隨機抽取230人，得到如下頻數分布表：
年齡段（歲） |
|
|
|
|
人數（人） | 125 | 75 | 25 | 5 |
（1）從樣本中70歲及以上老人中，采用分層抽樣的方法抽取21人，進一步了解他們的生活狀況，則80歲及以上老人應抽多少人？
（2）從（1）中所抽取的80歲及以上老人中，再隨機抽取2人，求抽到90歲及以上老人的概率；
（3）該縣按省委辦公廳、省人民政府辦公廳《關于加強新時期老年人優待服務工作的意見》精神，制定如下老年人生活補貼措施，由省、市、縣三級財政分級撥款：
①本縣戶籍60歲及以上居民，按城鄉居民養老保險實施辦法每月領取55元基本養老金；
②本縣戶籍80歲及以上老年人額外享受高齡老人生活補貼；
（a）百歲及以上老年人，每人每月發放345元的生活補貼；
（b）90歲及以上、百歲以下老年人，每人每月發放200元的生活補貼；
（c）80歲及以上、90歲以下老年人，每人每月發放100元的生活補貼.
試估計政府執行此項補貼措施的年度預算.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點F的位置，且∠FEB＝60°.
（1）求證：平面BFC⊥平面BCDE；
（2）若直線DF與平面BCDE所成角的正切值為
，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列a，b，c是各項均為正數的等差數列，公差為d（d＞0）．在a，b之間和b，c之間共插入n個實數，使得這n+3個數構成等比數列，其公比為q．
（1）求證：|q|＞1；
（2）若a＝1，n＝1，求d的值；
（3）若插入的n個數中，有s個位于a，b之間，t個位于b，c之間，且s，t都為奇數，試比較s與t的大小，并求插入的n個數的乘積（用a，c，n表示）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
的正視圖是一個底邊長為4腰長為3的等腰三角形，圖1、圖2分別是四棱錐的側視圖和俯視圖.
（1）求證：
；
（2）求四棱錐的體積及側面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】邊長為
的等邊三角形內任一點到三邊距離之和為定值，則這個定值為
；推廣到空間，棱長為的正四面體內任一點到各面距離之和為___________________.
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