Question

【題目】已知函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．
（1）在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，求實數a，b的值；
（2）若b=1，對任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立，則a的范圍；
（3）若b=1，對任意a∈[2，3]，g（x）≥0恒成立，則x的范圍；
（4）在（1）的條件下記f（x）=g（|x|），若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，g（x）的對稱軸為：x=1，開口朝上；

g（x）在[2，3]上單調遞增，故有

解得：

（2）解：由b=1知，g（x）=ax2﹣2ax+2；

對任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax2﹣2ax+2≥0⊕；

∴x∈[1，2）∴﹣1≤x2﹣2x＜0；

化簡⊕后：a≤﹣ ，令h（x）=﹣ ，即h（x）在x∈[1，2）上的最小值h（﹣1）=2；

∴a≤2

（3）解：由b=1知，g（x）=ax2﹣2ax+2=（x2﹣2x）a+2≥0；

令h（a）═（x2﹣2x）a+2；

①當x2﹣2x=0，即 x=0或2，式在a∈[2，3]時成立；

②當x2﹣2x＞0時，即x＜0或x＞2，h（a）在[2，3]是增函數，需h（2）≥0（x2﹣2x）×2+2≥0

解得：x＜0或x＞2

③當x2﹣2x＜0 時，即0＜x＜2，h（a）在[2，3]上是減函數，需h（3）≥0（x2﹣2x）×3+2≥0

解得：0＜x≤1﹣ 或 1+ ≤x＜2

綜上所述：x≤1﹣ 或≥1+

（4）解：由（1）知g（x）=x2﹣2x+1；

f（x）=g（|x|）=|x|2﹣2|x|+1，f（2）=1

當f（x）＞1時，解得x＞2或x＜﹣2

要使得f（log2k）＞3，即：log2k＞2或log2k＜﹣2

解得：k＞4或k＜

【解析】（1）根據對稱軸判斷g（x）在區間[2，3]上為單調增函數，列出等式即可；（2）對任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax2﹣2ax+2≥0a≤﹣ ；（3）由題意g（x）=ax2﹣2ax+2=（x2﹣2x）a+2≥0；令h（a）═（x2﹣2x）a+2，即轉為關于a的一次函數求解；（4）由（1）知g（x）=x2﹣2x+1；f（x）=g（|x|）=|x|2﹣2|x|+1，f（2）=1當f（x）＞1時，解得x＞2或x＜﹣2；要使得f（log2k）＞3，即：log2k＞2或log2k＜﹣2；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．