Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線，過右焦點F2，且它們的斜率乘積為，設，分別與橢圓交于點，和，，的中點為，的中點為，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意列出方程組，解出和的值即可得解；

（2）設直線的方程為，，則直線方程為，然后分別聯立直線和橢圓的方程，以及直線和橢圓的方程，再結合韋達定理得到，從而得到點的坐標，因此，最后結合均值不等式即可求得面積最大值．

解：（1）由題可知，，

解得，

故橢圓的標準方程為．

（2）設直線的方程為，，

聯立，

消去得，

所以，

因為的中點為，

所以，，

因為直線的斜率為，且與的斜率乘積為，

所以直線方程為，

同理可得，，

所以，

所以的中點為．

因此．

當且僅當，即時取等號，

故△OMN面積的最大值為．