Question

【題目】已知函數，（為常數）.

（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用函數的單調性的定義，即可證得函數的單調性，得到結論；

（2）由得，轉化為，設，利用二次函數的性質，即可求解.

（3）把函數有個零點轉化為方程有兩個解，令，作的圖像及直線圖像，結合圖象，即可求解，得到答案.

（1）當時，且時，是單調遞減的.

證明：設，則

又且，

故當時，在上是單調遞減的.

（2）由得，變形為，即，

設，令，則，

由二次函數的性質，可得，所以，解得.

（3）由有個零點可得有兩個解，

轉化為方程有兩個解，

令，作的圖像及直線圖像有兩個交點，

由圖像可得：

i）當或，即或時，有個零點.

ii）當或或時，由個零點；

iii）當或時，有個零點.