Question

【題目】已知函數為定義域R上的奇函數，且在R上是單調遞增函數，函數，數列為等差數列，且公差不為0，若，則( )

A. 45B. 15C. 10D. 0

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據題意，由奇函數的性質可得（-x）+f（x）=0，又由g（x）=f（x-5）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，可得f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，結合等差數列的性質可得f（a1-5）=-f（a9-5）=f（5-a9），進而可得a1-5=5-a9，即a1+a9=10，進而計算可得答案．

根據題意，函數y=f（x）為定義域R上的奇函數，
則有f（-x）+f（x）=0，
∵g（x）=f（x-5）+x，
∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，
即f（a1-5）+a1+f（a2-5）+a2+…+f（a9-5）+a9=45，
即f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，
f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）=0，
又由y=f（x）為定義域R上的奇函數，
則f（a1-5）+f（a9-5）=0，
即f（a1-5）=-f（a9-5）=f（5-a9），
∵f（x）在R上是單調函數，
∴a1-5=5-a9，
即a1+a9=10，
在等差數列中，a1+a9=10=2a5，
即a5=5，
則a1+a2+…+a9=9a5=45；
故選：A．