Question

【題目】已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于， 兩點.

（1）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；

（2）設點的坐標為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】試題分析：（1）將直線的點斜式方程（其中斜率為參數）代入橢圓方程，并設出交點A，B的坐標，消去Y后，可得一個關于X的一元二次方程，然后根據韋達定理（一元二次方程根與系數關系）易得A、B兩點中點的坐標表達式，再由AB中點的橫坐標是，，構造方程，即可求出直線的斜率，進而得到直線的方程．（2）由M點的坐標，我們易給出兩個向量的坐標，然后代入平面向量數量集公式，結合韋達定理（一元二次方程根與系數關系），不難不求出的值．

試題解析:

(Ⅰ)依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，

將代入，消去整理得，

．

設， ，

則，

由線段中點的橫坐標是，

得，

解得，適合（）．

所以直線的方程為，或．

(Ⅱ)①當直線與軸不垂直時，

由（I）知， ．（），

所以，

．

將（）代入，整理得：

，

．

②當直線與軸垂直時，

此時點， 的坐標分別為、，

此時亦有．

綜上， ．